雑記帳         宇宙エレベーター
   その十九
                            

宇宙エレベーターの夢を逆撫でするようで申しわけないが、建設推進派の言う楽観的な建造の見通しについて、その不可能性を考察したい。
「軌道エレベーター」とも呼ばれ、Wikipediaによると 「静止軌道以上まで伸びる軌道を持つエレベーター」 とシンプルに定義されている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93%E3%82%A8%E3%83%AC%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%BF
この雑記帳をご覧の方なら宇宙エレベーターを聞いたことがない方はいないであろう。
化学推進を使わないため、安全、地球環境を汚さない、大量輸送が可能 と
完成さえすれば良いことづくめである。
 一方、乗り越えなければならない技術的課題として、そこには3つが挙げられている。
   1.張力に耐えるケーブル材料
   2.昇降機
   3.昇降に必要なエネルギーの供給
ほかにも、高張力のケーブルの製造、長すぎる建造期間、ケーブルの耐用年数、完成後のメンテナンスの問題、軌道維持の問題、スペースデブリ対策、熱や荷重による全長の変動、テロ対策など枚挙にいとまがない。
しかし、まだそれ以上かもしれないだ
大きな技術的課題が意外なところに隠れている。 というかこれがクリアしない限り計画の段階で行き詰るであろう。 高校の物理程度の学力でわかるような課題であるのに 宇宙エレベータ推進派は楽観的なのか、無知なのか、それとも知りながらあえて臭い物にフタをして それぞれのお得意の分野に力を入れているとしか思えない。

建造方法について、そこにはこう書かれている。(宇宙エレベーター推進派の建造方法も全く同じ内容だ)
まず静止軌道上に人工衛星を設置し、地球側にケーブルを少しずつ下ろしていく。その際、ケーブル自体の重さによって重心が静止軌道から外れないように、反対側にもケーブルを伸ばす。地球側に伸ばしたケーブルが地上に達すると、それをガイドにしてケーブルをさらに何本も張って太くし、構造物を構築する。・・・・
 
果たしてこんな楽観的な方法で本当にケーブルが伸ばせるのだろうか?
静止軌道は無重力(見かけ上)の宇宙空間だから上下にバランスをとりながらケーブルを下には重力を、上には遠心力を利用して伸ばせばいずれは所望の長さまで延伸できる!  ・・・という大きな誤解がある。 あるいはチョコッとエンジンを吹かして軌道修正すればケーブルは真っ直ぐ降ろせるはず? いやいやそう簡単ではありません。 それがなぜ不可能(極めて困難)なのかを考察してみたい。   (2015年3月1日)

宇宙エレベータの原理
宇宙エレベータはその名の通り、地上から宇宙まで1本のケーブルで繋がれた長大な構造物だ。 そのケーブルの長さは10万kmとも言われている。
地上から組み上げたものではなく、宇宙からケーブルを地上まで降ろして建造する、宇宙から垂れ下がった構造である。 
まずこの構造そのものについて考察したい。

宇宙から垂れ下がった構造物がなぜ空中に浮いた(地上に対して静止した)状態で落ちてこないかは理解できるだろう。 完成時は構造物全体が地上
から繋がれ、1恒星日で1回転するようになっていて、構造物全体にかかる引力より遠心力が勝っているためである。 勝った遠心力は地上に繋がれた施設
(アースポートと呼んでいる)のケーブルに対して上方向の張力として作用する。
     遠心力 > 引力
であることが重要で     遠心力−引力 = ケーブルの張力  であり、これが大きいほど余裕がある。つまり重たいものを宇宙に揚げられるということだ。
では軌道上の遠心力と引力がどんな関係になっているのかを示す。 もちろんここで言う「軌道」とは宇宙エレベータが完成した場合の1恒星日で1回転する
円軌道のことである。 この場合自由軌道なのは地上約36000km静止軌道上だけで、それより下は引力が勝った軌道、それより上は遠心力が勝った軌道となる。

    

このグラフはエレベータケーブル軌道上1kgの質量の物体にかかる力の高度分布を示したものである。引力については

で求められ、遠心力については

で求められる。 Gは万有引力定数、Mは地球質量、rは地球の中心からの距離、 ωは角速度で1日1回転だから7.292X10-5 (単位はラジアン/秒)ほどの値だ。 
さてこれをグラフにしてみよう。 引力は地球からの距離rの2乗に反比例し、遠心力は地球からの距離に比例する。
 神様の作ったケーブルがあるとする。それは重さゼロでどんな荷重にも引きちぎれることのないケーブル、この上ない理想のケーブルとして計算を単純化する。静止軌道上の建造物の質量なども無視する。 すると宇宙エレベータの質量は地上から揚げようとする物体の質量と、宇宙側に置かれた遠心力を生み出すためのカウンターウエイトの2質量に単純化できる。 グラフから地上高度0の質量1kgの物体にかかる引力は9.82 [N]、ちなみに遠心力は 0.034 [N] だがほとんどゼロだ。 これを浮上させるためのカウンターウエイトの質量を同じく1kgとすると、地上高度なんと 185万kmに置かないと必要な遠心力が得られない。月までの距離のおよそ5倍である。

    

上のグラフは 推進派の方々がケーブルの長さが96000kmだと言うので、地上高度10万kmまでに絞って同じ計算をしたものである。
引力と遠心力が吊り合うのは地上高度約 36000kmのいわゆる静止軌道ということをグラフは示している。静止軌道では
引力 = 遠心力 = 0.224 [N]    となる
地上96000kmの位置に 1kgのカウンターウエイトを置いたとしても得られる遠心力はかなり小さいことがわかる。

    

上のグラフは ケーブル軌道(日周運動する)の1kgの質量の物体にかかる重力のグラフで
重力 = 引力−遠心力  という関係だ
重力ゼロとなる位置は 静止軌道36000kmである。 これを見てわかる通り、「軌道エレベータで物を揚げるための遠心力を得るための効率は非常に悪い」ということだ。大金を貯めようとするのに時給のとんでもなく低いアルバイトをするようなものだ。 
 推進派はこう反論するだろう。 「カウンターウエイトの質量をその分増やせば良い」と。
その通りだ。 地上から1kgの物体を浮遊させようとしたら高度96000kmに 19.1kgの物体を置けば良い。 でもこれって詐欺じゃないか? そんな質量のカウンターウエイトのことなど積極的には誰も言っていない。 詐欺でなければ保険契約書の裏書きか? カウンターウエイトをそこに置くためのエネルギーは膨大になりますよ!      (2015年3月14日)

補足
ある本には「もしカウンターウエイトが無ければケーブルの長さは上空15万Kmになりこれではあまりに長すぎるというのでウエイトを付けて短くする・・・」と記載されている。 それはこのような2質点モデルではなく、太さ一定のケーブルのみのモデルで計算した場合である。 
ケーブルのみの重力の収支がどうであれ、それに付加する2つの質量の収支の関係(19.1倍)は ケーブルの全長96000kmが変わらない限り変わらない。

         

地上に1kgの物体を静止して浮かせる(釣り合いをとる)ための引力と遠心力のバランスを考えたが、今度は任意の地上高度で1kgの物体を静止させるときのカウンターウエイトの高度を計算したのが上のグラフだ。  最終地点の地上96000kmで釣り合う必要があるから、カウンターウエイトの質量は必然的に19.1kgとなる。
まずは下部質量(1kg)を静止軌道から等速で降下させていった場合が左上のグラフ。  上部質量(19.1kg)は最初のうちは遅い速度で上昇させれば良いが、そのうち急上昇させないと釣り合わなくなる。

そこで、反対に上部質量のほうを等速で上昇させればエネルギーの与え方にも無理がない。 この場合は下部質量は地上に近づくほど減速することになる。 これが右上のグラフ。  いずれにしても上と下へのケーブルの伸ばし方は非対称になるということだ。  2014.9.11NHK放送のコズミックフロント 「2050年宇宙エレベーターの旅」では静止軌道から時速15kmで100日かけて海上に・・・・といかにも等速で下降するような内容だが、これには無理がある。 
ケーブルの伸ばし方には工夫が要るということであって、これだけであれば不可能なことではなさそうだ。

誤解を避けるために言っておくが、このグラフはもともと質点を任意の高度に置いて静止したときの釣り合い位置を求めたものであって、質点の軌道を移動させること、そしてそのときに必要な推力(エネルギー)は考慮していない。 
                    
重力場に逆らって軌道上にある質点を別の軌道上に移動させるには それ相当のエネルギー(推力)が必要で 静止軌道から質点を一定速度で放ったとしても地上や10万kmの軌道高度に勝手に移動してくれたりはしない。 推力がなければ衛星の軌道は変化せず同じ軌道を保つ。 上や下に瞬間的な力で放ったぐらいでは質点は地球を一周する間に復元してくるので軌道はほどんど変わらない。 もしそうでなければ地球は45億年の間に太陽に飲み込まれていただろうし、土星の輪も形を保てなかったろう。 楽天的な建設推進派のようには宇宙はできていないことに感謝するべきだ。  宇宙エレベータの建造方法を解説している資料を見る限りにおいて このことが決定的に欠落している。 2質点には潮汐力が働くからいかにも簡単にケーブルを上にも下にも伸ばせると・・・・。  確かにある限定された条件では可能だ。 しかしこの方法だけです宇宙エレベータを建造できない。         (2015年3月15日)



宇宙エレベータとエネルギー
重力場は中心天体(地球)を中心に同心円状のエネルギー分布を持っている。 すべての小天体や衛星はこのすり鉢の周りに沿って円または楕円運動をするのはエネルギー保存則によって同じエネルギーとなる線上を運動するからだ。 同心円に垂直に物体を動かそうとするとその坂を昇り降りするのに結構なエネルギーを要求される。 いっぽう上の図のように周回している質点は軌道を保とうとする。 すり鉢の面上を周っている重りをちょっと中心方向につっついたぐらいでは中心の凹みに落ちないことは経験的に理解できるだろう。  軌道上のエネルギーは、位置エネルギーと運動エネルギーの和で求めることができる。それぞれ1kgあたり −GM/r  および V/2 
 よってトータルのエネルギー:Eは    E= −GM/r + V/2  
 自由軌道上の速度:Vならば   となるが、宇宙エレベーターのケーブル上の角速度は一定だから V=2πr/86164.1  ・・・分母は1恒星日(単位は秒)となる。 ケーブル上の1kgの質量が持つエネルギーをグラフにしてみた。 (地上を基準=0[J] としてグラフは作図)

           

上のグラフの横軸は高度、縦軸はエネルギーとした。   左は高度14万kmまでを描き、 右は高度1万kmまでスケールを拡大したものだ。 
 低高度と高高度で位置エネルギーと運動エネルギーのふるまいはかなり異なる。 1万km以下の低高度で物体を上昇させる感覚は我々のよく知っている地上とあまり変わらない。 上昇に必要なほとんとが位置エネルギーだからだ。 高度が高くなるにつれ重力が徐々に小さくなるので揚げるのが楽になるかもしれない。
しかし高度1万km以上になると運動エネルギーが2次関数的に必要になってくる。 最高地点96000kmのトータルエネルギー 8.64X10 [J] という数値はピンとこないが、全部運動エネルギーに直すと 秒速13.1kmの物体が持つエネルギーとなる。 これもピンとこないので、700系新幹線1両分(約45トン)が時速226kmで巡行するエネルギーをたった1kgの質量に集中させた状態! といえば少しはイメージできるだろうか。

★2018.6.2修正
宇宙エレベーターを建設時、静止軌道から地球に向けてプローブ衛星を降下させ、同時に反対方向にカウンターウエイトを上昇させていく。 
放出した質量が連結されていない場合、押し出したぐらいで推力(エネルギー)を与えなければ2つとも少し進んだところで停止し、地球周回中に放った衛星の方向に戻ってきてしまう。 衛星から見ると放出した物体はいったん地球方向に放出されるが、周回するうちに地球とは反対方向に移動し、衛星の周りを回るだけである。 衛星がほぼ円軌道だったとすれば放出された物体はちょっとだけずれた軌道となり、主衛星の周りを周回する。 これがエネルギーを与えられないで放出された物体の運動である。

しかし放出した質量が連結されている場合はいちがいにそうはならないようだ。 上下の質量は地球からの距離が異なるため、下の質量にはより大きな重力がかかる。 
その結果上下の質量は距離が離れる方向の力(潮汐力)がかかり、  物体の長軸方向は地上面に対し垂直方向に自然に安定する。 これを重力傾度安定と行って、省エネなことから人工衛星の姿勢安定に使われてきた。 長いケーブルにつなげた場合には放出するときの初速の条件が重要で、速度が十分に遅ければコリオリ力より潮汐力が優勢に働き時間とともに安定していくという。 ここをクリアすれば展開したケーブルが長くするにしたがい潮汐力も増えるからより姿勢は安定しやすくなるだろう。
逆に放出が早すぎたり放出角度が悪ければ、ケーブルは垂直方向に安定できず主衛星の周回軌道に陥ってしまうだろう。 そのうち質量の大きいカウンターウエイト側が地球に近づいて姿勢が安定してしまい、宇宙エレベータは最初の段階で失敗する。   潮汐力による姿勢制御については以下に記載されている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%B6%E3%83%BC%E6%8E%A8%E9%80%B2

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A7%BF%E5%8B%A2%E5%88%B6%E5%BE%A1   の中の 「重力勾配による安定(重力傾度安定方式 Gravity-gradient stabilization)」

日本の大学が共同で小型テザー衛星を低軌道で展開し、潮汐力を利用して 各々の先端に分離した衛星が付いたケーブルを上下に展開する実験などを行っている。
前回、降下衛星を下に降ろそうとして分離しても下に伸びることはないと言ってしまったが、私が間違っていた。  
紹介していた大学のブログもいつの間にか説明が補足されて分かりやすいものになっていた。 
http://www.aeroastro-kait.net/blog-entry-49.html

ただし、これで宇宙エレベータのケーブル延伸がすべて解決できるかのような記述は、やはり大いに疑問だ。 ケーブル延伸は低軌道ではなく、静止軌道から始めなければならないのは言うまでもない。 そして最初の数kmか数100kmぐらいはうまくいくかも知れない。  しかしこの系に外部からエネルギーが与えられるわけではないので、 「運動エネルギーと位置エネルギーの総和は一定」 という条件がつく。

前述のように上昇させなければならない質量(カウンターウエイト)は、下降させる質量(加工プローブ)の19.1倍が必要なのだが、 カウンターウエイトの増速噴射なしでケーブル延伸を行っても、最終目的地の9.6万kmの軌道に行かないことは容易に想像できる。 つまり、下降側プローブの質量は特に障害もなく地球方向に延伸できるが、エネルギー保存則の下では、その「反作用」で得られるカウンターウエイトの上昇量はわずかであり、 延伸を続けていくとプローブが地上に到達する前に、いずれ重量バランス崩壊を迎える。 つまり系全体として初期の高度を維持できず静止軌道には居られなくなる。 

今、日本の大学が世界に先駆けて行っているテザー衛星の展開実験は、放出物体の動的挙動を検証するうえで意味のあることだとは思う。 そしてこのテザー展開には原理的な障害は何も無いし、低軌道であれば静止軌道よりも潮汐力が強いし、周期が少々変わっても地球を周回しさえすれば良いので、ヘマさえしなければ成功するだろう。 しかしながらエレベーター建設時に潮汐力だけに頼って延伸を続けた場合の限界はそんなことをしなくても計算だけで求められる。 そうなる前に何をするべきで、どれほどの技術的難易度があるのか研究者なら分かっているはず? このままのペースで行けば2040年にはケーブルを40万kmに延ばせる予想だそうだが、夢だけ語らずにちゃんと足元の課題を説明してほしい。

ここでとくに問題なのは、上の軌道を目指すカウンターウエイトのほうだ。 重力傾斜による姿勢安定だけでは、最終軌道には到達できない。  そのため静止軌道から さらにエネルギー(増速推力)を追加しなければならないのはプローブと同じ。 静止軌道までで稼いだエネルギーは山に例えるとまだ6合目半である。 周回方向にさらに7.6km/s加速させてやらないと96000kmまで揚がって1日1周する運動エネルギーが与えられない。 しかも揚げなけらばならない質量は降下させる質量の19.1倍もある。 ハンマー投げの重りのように先でぶん回しているエネルギーは宇宙から勝手に貰えたりしない。 ひもはまだ地球に到達してないのだから、減速も増速も自分で噴射するしかないのだ。 コズミックフロントでは降下プローブのほうは軌道修正のことを紹介していたが、カウンターウエイトの説明は全くお留守だった。 カウンターウエイトを揚げるエネルギーはプローブの約10倍になる。 (19.1倍の質量を考慮して)
これは生易しい軌道制御・修正というレベルでなく、前代未聞の高効率かつ長時間耐久性かつ推力可変の超エンジンが必要だ。 (それも地上から吹かせるのでなく、静止軌道に持って行ってから吹かせることが大変お荷物なのだ)  なお、本計算にはケーブルの質量や伸長時の摩擦抵抗などは入れていないからもう少し厳しくなる。
カウンターウエイトは終点では太陽系脱出速度に近い速度を持つことになるのだが、これだけ考えても容易なことではない。 ボイジャーが太陽系を脱出できたのは数回の惑星スイングバイがあったからであることを忘れてはいけない。 人類はこのためのエンジンを持っていない。 今あるのは足元にも及ばない貧弱なものだ。 

まだまだ先が長い。やはり私には蜘蛛の糸を垂らす行為は神だけが成しえる領域に思えてならない。 
http://www.aozora.gr.jp/cards/000879/files/92_14545.html
   (2015年3月21日)


補足2 張力バランスについて
ケーブルが地球に接続された後の宇宙エレベータが成り立つ条件は 張力バランス、つまり全体系として
 
遠心力 > 引力
となっていること、 これに尽きる。 引力が瞬間でも勝ればケーブルは地球に引っ張られ、カウンターウエイトは高度を下げる。 低軌道に落下することで一時的にカウンターウエイトは角速度を早めるが地球に繋がれているので角速度は一定に矯正される。するとますます遠心力が不足しさらに落下する。 これを繰り返すことで宇宙エレベーターは崩壊する。  
 遠心力 = 引力 となって最低限 宇宙エレベーターが吊り合う条件をもう一度確認してみた。 地上で物体を揚げるためには 96000km上空のカウンターウエイトをこれより重くする必要がある。
  掲示板などで宇宙エレベータのバランスに関して重心位置を持ち出す人がいる。 重心が静止軌道よりも遠いことが成立条件と言っているようだが、適切ではない。
 場所によって重力が異なっているため一般的な重心の概念は通用しない。

                     
   

補足3 自己復元力について
宇宙エレベータの重要な利点とも言えるのが自己復元力である。 (言葉的には適切でないかも知れない。)
ケーブルは地球に繋ぎ止められているため全体が
逆さの振り子のように働き、元の位置を自然に維持する。 クライマーの昇降に伴うコリオリ力などの外乱が与えられても振り子はいったん揺れるが ケーブルの変形、質点の揺動などの運動エネルギー消費により揺動運動は自然に減衰する。
これをもう一歩進んだ考え方にすると、宇宙エレベーターの重要なメリットが見えてくる。
この作用により
軌道円周方向の推力(運動エネルギー)を与えなくてもケーブル軌道上に質量を揚げられる。 最初は自分もこれを信じることができなかった。 ケーブルが地球から直立した剛体の棒ならともかく、ふにゃふにゃのケーブル上端の質点に横方向の推力を与えることができるのか?と思ってしまう。 建設不可能と言っている人たちの多くは同じような直感的な理屈からのようだ。 でもこれは次のようにして可能であることが理解できると思う。 詳細は省略するが宇宙エレベータのエネルギーの99%以上は96000km上空のカウンターウエイトのもつ位置エネルギーと運動エネルギーである。 このカウンターウエイトにかかっている重力は1kgあたり 約−0.505N(地上の1/19.1) だが 負の重力がある以上、ウエイトは今より後方(上方)に伸ばすことができる。 そのとき一時的に振り子は揺動するがいずれ減衰する。 ある程度時間がかかるだろうが これを繰り返せば結果的に宇宙エレベーターのエネルギーを地球の自転からもらって大きくできる。 またやり方をかえて ウエイトを後退させる代わりに96000kmの終点位置を保ったまま建設用クライマを何回も上昇させてウエイトの質量を重くすることも可能だろう。
逆さ振り子の周期をざっと計算してみよう。 単振り子の周期は近似的に   (Lはひもの長さ、gは重力加速度)で求められる。
L=96000000m、g=0.505m/s とすれば   T=86600s 周期Tは約1日となる。 ただ、この計算法は乱暴なので実際にはもっと長くなるだろう。 
ある資料では1週間程度となるらしいが、ケーブルは非常に複雑な揺動をするだろうし、ローカルな周期であれば当然もっと短い。 
この動きのシミュレーションは非常に難しく、できたとしても境界条件の与え方で結果はどうにでも変わるから それが本当に正しいかどうかは疑わしい。
基礎実験を繰り返すことによって境界条件を整備して計算精度を上げていく必要があるだろうが、まだその途中段階とみてよい。
シミュレーションの多くは研究者の自己満足に留まっている。(誰も検証することができないのだから)
低軌道でケーブルを伸ばす実験が静岡大学などで行われ基礎実験が始まったようだ。
http://stars.eng.shizuoka.ac.jp/

この自己復元力があるからこそ、低コストで宇宙空間に泉のごとく荷を揚げることができる。 つまり荷に位置エネルギーのみを与えることで運動エネルギーは地球からもらうことができる。 もしそうでなく、いちいちまともに横方向の運動エネルギーまでも荷に与える必要があるようなら宇宙エレベーターは全く閉じた系での昇降しかできず存在価値は幻滅するし、この復元力を利用できないなら建造すること自体が非常に困難だ。

この復元力を有効に引き出すためには エレベーター全体として 遠心力>>引力 となっていることが大前提で、揺動の途中で不等式がくずれればその瞬間から逆さ振り子でなくなり全体崩壊に至るだろう。 揺動でウエイトが低軌道に落ちすぎた場合、上式の「g」が0以下になれば振り子として破綻する。 そうなる地上高度は静止軌道ではなくもっと上、遠心力<引力 となる地点である。 建設途上の宇宙エレベーターは不等式に余裕がなく非常にデリケートでクリティカルな状態なので いくら地球からエネルギーをもらえると言っても無茶な資材の揚げ方をすれば自己崩壊に直結する。 資材を揚げることでカウンターウエイトは一時的にエネルギーを失って降下するが、地球の自転からエネルギーがチャージされて姿勢が復元されるにはある程度の時間がかかる。 その復元時間は簡単には計算できないが失ったエネルギーが大きいほど時間もかかるだろう。また、ケーブルが地球に繋がれていない建設極初期段階では この効果がないことは明らかである。                       (2015年4月12日)



宇宙エレベータ建造方法の虚と実
今までの考察のほとんどはケーブルの重量は0とし、無限に強力で引きちぎられることのないものとしてきた。 しかし建造方法を語るにはケーブルの強度や重量を無視するわけにはいかない。 ケーブル材の大本命は カーボンナノチューブ(CNT)、これに替わる候補は今のところない。 その引張強度は、チャンピオンデータでは150 GPaだが、実測値としては 数10 GPaあたりが測定されているようだ。 また比重は 1.35 g/cm3 (1350 kg/m3)としておこう。 下にCNTの構造と一覧表を示したが同じCNTと言っても 強度も比重もピンからキリまである。
ではこれを使って宇宙エレベーターを建造するとして、安全率をいくつにして 設計上どこまでの引っ張りに耐えるとするか?  宇宙エレベーターに限らず建造物はこれによってコストが大きく影響される。  一例として、吊り橋の鋼線ケーブルの場合、日本道路公団では3程度の安全率をとるようだが、世界最長の明石海峡大橋は安全率2.2だそうだ。 結構きわどい設定のようだが海外では2を採用している場合もある。 宇宙エレベーターの場合、96000 kmもの全長で安全を保証する必要があるが、CNTの強度をいくらとし、安全率をいくらにとるかで構造自体が成り立つかどうかの瀬戸際になりそうだ。

      
                                                                          PBOとはスーパー繊維の一種

宇宙エレベーターの規模(能力)を表す数字は、全長でもクライマーの大きさでもない。 静止軌道上のケーブルの断面積である。 これが建物の基礎の大きさにあたる。
まず断面積一定のケーブルを想定してみる。 ケーブルにかかる引っ張り応力は静止軌道で最大となるが、例としてケーブルの断面積を1mm(幅50mmX厚さ0.02mm) としよう。 ケーブル総質量は約130トンとなり静止軌道での引っ張り応力は 67GPa となり、地上に降ろす前に破断しそうな値となる。 もちろんこれでは荷をぶら下げる余裕もない。 だからケーブルを断面が先細りのテーパー形状としてケーブル自身の重量による応力を軽減する必要が生じる。 ケーブルのどの部分をとっても一定の引張応力となる「応力一定」という考え方がある。 断面積を以下の関数に従って地球中心からの距離:r に応じて変化させればよいことが解析されている。
       
   r: 地球の中心からの距離、 r:地球半径、 r:静止軌道半径、σ:ケーブルの許容引張応力、ρ:ケーブル比重、g:地上重力加速度
   σに適当な値を入れて計算したのが次のグラフである。
     
           

       グラフは静止軌道上のケーブルの断面積=1mmとし、ケーブルを応力一定のテーパー形状とした場合のケーブル断面積の変化 (全長96000kmの場合)

グラフから。 ケーブルの許容引張応力が小さいほど、きついテーパーをかけなければならなくなる。 許容応力25GPaと安全側に見積もった場合、地上でのケーブル断面積は静止軌道のわずか7%にまで絞らねばならず、地上張力つまり地上で吊り下げられる荷の質量もわずかになってしまう。 静止軌道での断面積を1mmとすれば、ケーブル総質量は94.5トンにもなるが、地上許容張力はわずか187kgしか得られない。

このグラフからは、ケーブルの設計引張応力は最低でも50GPaがほしいところだ。 これは「希望値」であり「実現可能値」とは限らない。 安全率を2とするならば引張応力100GPaが必要だ。 CNTの引張強度はピンからキリまであり、CNTなら何でも良いということにはならない。 100GPaとなると多重構造の最高品質レベルのCNTケーブルを製造しなければならない。 実現可能かどうかは将来の製造技術にかかっているのだが果たして安全率はいくらまで達成できるのだろうか? 安全率2ではとても乗る気にならないのだが。

またケーブルの総延長96000kmというのはケーブルの強度設計からすれば必ずしも最適な長さではないことがわかる。 地上張力と終点張力とは等しくなるはずだが、総延長96000kmでは終点許容張力にまだ余裕がある。 グラフ中の点線を追っていくと、ケーブル総延長を約14.4万kmにすれば地上と終点の許容張力が等しくなる。 このほうがカウンターウエイトも軽くでき総エネルギーも小さくできる。 ただし静止軌道上のケーブルの断面積が変わらない限り荷揚げ能力は変わらないし、終点が地球から1.5倍も遠ざかるのでデメリットのほうが大きいだろう。

テーパーが必要ということはつるべ型のエレベーターは建造不可能ということ。地上高度によって重力が変わるから釣り合いも取れず、クライマーは自律昇降型しかありえない。
         (2015年5月2日)

               
ケーブルの
許容引張応力
地上での許容張力
=揚げられる最大質量
96000km終点
での許容張力
終点でケーブルをバランス
させるのに必要なウエイト質量
終点で地上のクライマ
をバランスさせるに使うウエイト質量
ケーブルの総質量
25GPa 1828 N
187 kg 
9700 N 15530 kg 3570 kg 94500 kg
50GPa 13520 N
1385 kg
  31000 N 35250 kg  26450 kg 109000 kg
75GPa  31360 N
3210 kg
54700 N 46900 kg 61310 kg 115000 kg
100GPa 52000 N
5320 kg
78900 N 54230 kg 101600 kg 118000 kg

表ではわかりにくいのでグラフにした。 クライマを揚げられる能力はケーブルの許容引張応力のほぼ2乗に比例する。 20GPa以下ではテーパーでも成り立たない。
     グラフは静止軌道上のケーブル断面積=1mm2とした場合のエレベーターの能力   (ρ=1350kg/mとする)


            



宇宙エレベータ建造の可能性
冒頭とはあえて真逆のタイトルにしてみた。  このページを書き始めた頃は非常に懐疑的だったのだが、かなり困難ではあるけれど不可能なものではない、
というのが行きついた結論だ。 ただし現時点では不可能と言ったほうが良いくらいで、全く楽観視できるような内容ではない。
建造方法については大林組が施工案を公開しているのでこれをもとに考察を進める。 他の資料もだいたい同じような内容だが これには具体的な数値が書かれていて
綿密に検討された成果物と思われる。 批判を恐れず数値を示していることには敬意を表したい。 ただし根拠や計算方法を明らかにしているわけではないので
こちらでかなりの部分を読み解かなければわからない。

@からHまでの工程があるが、自分が一番怪しげに感じたD〜Fの工程のみ見ていくことにしよう。
Fは工期短縮のために補強ケーブルを載せたクライマーを次々と揚げようというもの。 コズミックフロントでは「ラップ施工」と呼んでいた。 
ラップ=オーバーラップのことだろうか?
たしかに12000km上空まで行くと重力は地上の1/8程度に減るから次々と出発できそう?
いやいや、これではまるで「蜘蛛の糸」でカンダタのあとを追って登ってくる数限りもない罪人たちじゃないか?
多くの人はここで違和感を覚えるのではないだろうか? こんな無茶なことをしてエレベータが落ちてしまわないの?

この建造案で最初に地上に降下させたときの初期エレベーターの能力について資料の数値を読み解いてみる。 ケーブルにテーパーをかけていることは別の資料で
確かなので自分の計算と合わせてみた。 下のグラフは大林組の想定するケーブル総質量=40トン(一定)とした場合のエレベーターの能力 を示したものである
 (ケーブル材の比重:ρ=1350kg/mとする)
カウンターウエイトの総重量36.8トンから、ケーブルの許容応力は約75GPa以上、クライマの最大許容質量は約1100kgであることがわかった。 
ケーブルの安全率を2とするとケーブルの引張耐力=150GPa  今考えられる最高レベルのCNTなら可能ということだ。


            

クライマーの許容最大荷重は1100kgだから、880kgの1号クライマーは余剰張力220kgを残して無事出発することができる。 
では宇宙エレベーターの持つエネルギーの増減のことは後に置いておくとして、2号機、3号機は出発できるかを検討したのが次のグラフだ。


            

ライマーが高度12000kmに達した時点で2号機を出発させた場合のケーブルにかかる負荷を計算したものだ。 3号機、4号機を離陸させた直後に最大の
負荷がかかるが約1000kgであり、まだかろうじて100kgの張力余裕を保っている。 それ以降は静止軌道以上にクライマが次々到達するため揚力は増加し負荷が減少する。  書かれていないが徐々にクライマーを大型化して工期を短くするようなので最低限の張力余裕しか与えないことになる。



エネルギー保存則と自己復元の関係 
クライマーを次々と出発させたらどうなるか? 
宇宙エレベータを建造するということはカウンターウエイトの質量を次々と増やし、エレベーター全体のもつエネルギーを巨大なものにすることに他ならない。
一見するとクライマーは上昇に伴って宇宙エレベーターに位置エネルギーを与えているように見えるが、ぶら下がっているのは他ならぬ宇宙エレベータ自身。
これでは宇宙エレベーターの重心の位置を変えているに過ぎず 位置エネルギーを与えたことにはならない。もちろん軌道回転方向の運動エネルギーも与えない。
だからエレベーターの当初持っていたエネルギーを保存するように宇宙エレベータの状態が変化する。
つまりカウンターウエイトが96000kmから徐々に低くなる。 ケーブルが揺動しながら低軌道に落ちていくだろう。 下のグラフはそのシミュレーションだ。
0.88トンのクライマーは上昇できるが終点の96000kmに到達できず、カウンターウエイト共々到達点が落ちてくる。 
2台目、3台目とますます落下してきて いずれ落下は加速しエレベーター全体が墜落するが・・・そこまで計算する気になれない。

しかし実際にはそうならないようだ。 たしかに静止軌道以下でクライマーがうろうろしている間はクライマーはカウンターウエイトからエネルギーを消費するが、
地上張力ががある程度以上残っている限り、遠心力によってカウンターウエイトは降下せず一定の高度を維持する。 
結果的には地球の自転から運動エネルギーを与えられ降下を免れるようだ。 言い方をかえればクライマーは水平方向の推力をケーブルの張力から得ることができる。
ありえないようだがそのようだ。 その復元の程度は正確には計算できないが、簡単な思考実験をしてみよう。


                     

                     

この図はエネルギーがどこからも補充されない場合のクライマーの高度とエネルギーの関係   カウンターウエイトの高度はどんどん低くなり墜落するしかない。
しかし実際にはこうなることはないようだ。



例として大林組の構想する宇宙エレベータをモデルにする。 エレベーターの総質量はおよそ80トン。 上述のように最低でも100kgの張力が残っている状態を想定する。
100kgの残存張力のうちの10%(10kg)分をカウンターウエイトの軌道維持のために解放したとする。 エレベーター全体は高度があがる方向に等加速度運動を始める。
   加速度: a=F/m=80000/(9.8*10)=0.0012 [m/s2]
高度12000kmに上昇する間に、エネルギー供給が無ければカウンターウエイトは1620km降下するが、この距離を上記の加速度で上昇させたときの所要時間は
   時間: T= √2S/a =51430 [s]
乱暴な計算で,申し訳ないが、一日足らずで復元できることになる。実際には回転エネルギーも復元させねばならないからもう少し時間がかかるだろうが、
12000kmに到達するのは12.5日というからその間 連続して張力を解放すればじゅうぶん復元可能だろう。 


いちおう結論
もしも未来にコズミックフロントに出てくる列車のようなクライマーを備えた宇宙エレベーターが完成したとして、どのようなものになるだろうか。 クライマー1両20トン
(新幹線の半分)として5両編成で100トン。 張力の余裕率を1.5としてケーブルの地上張力は空荷時で150トン。 50GPa強度(安全率2で実力強度100GPa)の
テーパー付ケーブルとすれば上表の108倍の規模となる。 ケーブルの静止軌道断面積は108mm(幅50mm、厚さ2.16mm)、ケーブル総質量12000トン、
カウンターウエイトの質量6700トン できれば夢のある話だ。 (推進派の言っている数値とさほど変わらない。)

一方で、一度完成してしまうと、これなしには人類は活動できなくなる。 最初は国際協力で建造してもいずれ国ごと地域ごとに持ちたがるだろうし、耐用年数に限りが
あるから建造と劣化した箇所の修復を絶えず繰り返さなければならなくなる。  耐用年数は何年を想定すればよいだろう。 2、30年では話にならないことは誰でも想像できよう。 さらに安定性を考えれば傍に予備も欲しくなる。 原発と同じようにパンドラの箱を開けてしまえばもう引き返すことはできなくなるだろう。 夢が現実になった途端、金食い虫の必要悪に変わりそうだ。

宇宙エレベーターに関する書物、推進派のサイト等かなりのものを見てきたが、浮かれた夢をいくら語られてもここに挙げた多くの疑問に答えてくれるものは無かった。 
彼らが地に足をつけて何がどのぐらい難しいのかきちんとした科学的な検討をしようともしないのは損をしていると思う。 
サイトを検索しても 下記を除けば、完成した後の夢物語。 あるいは科学的根拠の乏しい直感による自論の主張ばかりで辟易した。
いちおう自分としての結論は当初の主張を翻すようだが 「理論的には可能、現実には途方もなく困難」 だ。

参考にしたサイト: 軌道エレベーターの解析
            Wikipedia 「軌道力学」「楕円軌道」など    

・・・・最後まで読んでくれた方、ありがとう。             (2015年5月9日)







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